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已知a + b + c + …+ n的和sum，求abc..n乘积的最大值

结论：尽可能让a,b,c…=3；

解题思路：
设将长度为 n 的竹子切为 a 段：

n=n1+n2+…+na

本题等价于求解：

max⁡(n1×n2×…×na)
以下数学推导总体分为两步：(1) 当所有绳段长度相等时，乘积最大。(2) 最优的绳段长度为 3 。

数学推导：
以下公式为“算术几何均值不等式” ，等号当且仅当 n1=n2=…=na时成立。

$\frac{n_1 + n_2 + … + n_a}{a} \geq \sqrt[a]{n_1 n_2 … n_a}$

推论一：将竹子以相等的长度等分为多段，得到的乘积最大。

设将竹子按照 x 长度等分为 a 段，即 n=ax,则乘积为 x^a^ 。观察以下公式，由于 n 为常数，因此当$x^{\frac{1}{x}}$取最大值时，乘积达到最大值。

$x^a = x^{\frac{n}{x}}={x^{\frac{1}{x}}}^n$

根据分析，可将问题转化为求$y=x^{\frac{1}{x}}$ 的极大值，因此对 x求导数。

易得驻点为 x0=e≈2.7.由于切分长度 x必须为整数，最接近 e 的整数为 2 或 3 。如下式所示，代入 x=2和 x=3，得出 x=3 时，乘积达到最大。
推论二：尽可能将竹子以长度 3 等分为多段时，乘积最大。

切分规则：
最优： 3 。把竹子尽可能切为多个长度为 3 的片段，留下的最后一段竹子的长度可能为 0,1,2 三种情况。
次优： 2 。若最后一段竹子长度为 2 ；则保留，不再拆为 1+1 。
最差： 1 。若最后一段竹子长度为 1；则应把一份 3+1替换为 2+2，因为 2×2>3×1。